曲线积分速通手册

概要

在积分概念中，将积分区间为一段曲线，称为：曲线积分(线的质量或变力沿有向曲线所作的功) 。

对弧长的曲线积分

基本形式

1. 平面直线： $\int_{L} f(x, y) d s$

2. 空间直线：$\int_{\tau} f(x, y, z) d s$

3. 平滑曲线： $\mathrm{L}=\mathrm{L} 1+\mathrm{L} 2： \int_{L_{1}+L_{2}} f(x, y) d s=\int_{L_{1}} f(x, y) d s+\int_{L_{2}} f(x, y) d s$

4. 闭曲线： $\oint_{L} f(x, y) d s$

计算公式

$\int_{L} f(x, y) d s=\int_{\alpha}^{\beta}[f(\varphi(t), \Phi(t))] \sqrt{\varphi^{\prime}(t)+\Phi^{\prime}(t)} d t(\alpha<\beta)$

将弧线用参数方程表示，同理空间曲线积分的计算公式如下：

$\int_{\tau} f(x, y, z) d s=\int_{\alpha}^{\beta}[f(\varphi(t), \Phi(t), \omega(t))] \sqrt{\varphi^{\prime}(t)+\Phi^{\prime}(t)+\omega^{\prime}(t)} d t(\alpha<\beta) .$

对坐标的曲线积分

基本形式

对 平面曲线 坐标 $\mathrm{x}$ 的 曲线积分： $\int_{L} P(x, y) d x$
对 平面曲线 坐标 $\mathrm{y}$ 的 曲线积分： $\int_{L} Q(x, y) d y$

合并形式：

$\int_{L} P(x, y) d x+\int_{L} Q(x, y) d y=\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y$

对 空间曲线 坐标 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 类似于 平面曲线的表达方式，但 $\mathrm{z}$ 的曲线积分为 $\int_{L} R(x, y) d y$

重要性质

光滑有向曲线 $L=L 1+L 2$ ：

$\int_{L} F(x, y) d r=\int_{L_{1}} F(x, y) d r+\int_{L_{2}} F(x, y) d r$

$L-$ 是 $L$ 的反向 曲线弧，则：

$\int_{L^{-}} F(x, y) d r=-\int_{L} F(x, y) d r$

计算公式

$\int_{L} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{P[\varphi(t), \Phi(t)] \varphi^{\prime}(t)+Q[\varphi(t), \Phi(t)] \Phi^{\prime}(t)\right\} d t \\ \alpha可以大于\beta$

格林公式

概要

格林公式是牛顿-莱布尼茨公式的一种推广，我(自认为)把他们都称为“降积分公式”。

牛顿-莱布尼茨公式将一维转为零维。

格林公式将二维转换为一维。

区域

单连通区域： D为平面区域，在该平面区域内，任一闭曲线所谓的区域都属于D，称为单连通区域；（通俗来说，就是该区域不包含洞）。 否则 ，称为 复连同区域。

边界曲线L的正向： 当观察者 沿L 的这个方向行走时，D内 在他近处的那一部分 总在他的左边。（注意，这里的他 ，指代观察者相对于运动方向的定位。 因此，复连通区域中，内环线为顺时针，外环线为逆时针。）

公式

$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y$

平面上曲线积分与路径无关的条件

基本形式

平面闭区域 $G$ ，任意两点 $A, B$ ，从$A$ 到 $B$ 的任意 两条曲线 $L 1 ， L 2$ ：

若$\int_{L_{1}} P d x+Q d y=\int_{L_{2}} P d x+Q d y$ 恒成立，就称为曲线积分 $\int_{L} P d x+Q d y$ 与路径无关，

否则 称为 与路径有关。

等价为$\oint_{L_{1}+L_{2}-} P d x+Q d y=\oint_{C} P d x+Q d y=0$，

描述为$\int_{L} P d x+Q d y$ 在$G$ 内 与 路径无关，相当于 沿G内 任意闭曲线C 的曲线积分 等于零。

充要条件

曲线积分 在G 内 与路径无关的充要条件是：$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在G内恒成立(G为单连通区域)。

补充

第二型曲线曲面积分的轮换对称性

口诀

$关于 x 轴对称\\ dx 奇倍偶零\\ dy 奇零偶倍\\\\ 关于 y 轴对称\\ dx 奇零偶倍\\ dy 奇倍偶零\\$

第二型曲线积分的对称性

$A M B$ 关于 $x$ 轴对称

$\begin{aligned} \int_{A M B} f(x, y) d x &=\left\{\begin{array}{cc}2 \int_{A M} f(x, y) d x & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为奇函数 } \\ 0 & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数 }\end{array}\right.\\ \\\int_{A M B} f(x, y) d y &=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为奇函数 } \\ 2 \int_{A M} f(x, y) d y & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数 }\end{array}\right.\end{aligned}$

$A M B$ 关于 $y$ 轴对称

$\int_{A M B} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{cl}0 & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 } \\ 2 \int_{A M} f(x, y) d x & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 }\end{array}\right. \\\\ \int_{A M B} f(x, y) d y=\left\{\begin{array}{cc}2 \int_{A M} f(x, y) d y & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 } \\ 0 & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 }\end{array}\right.$

记忆方法：

积分曲线关于 $x$ (或 $y$ )轴对称，就看被积函数关于 $y($ 或 $x)$ 的对称性。若关于 $y$ (或 $x$ )为奇函数，且积分变 量为 $d y$ (或 $d x$ ），结果则为 0 ；若为偶函数，但积分变量为 $d x$ (或 $d y$ ），结果为 0 . (奇函数一致为 0 ，偶函数不一致 为0)

例题

曲线 $L： y=1-|x|(x \epsilon[-1,1])$, 起点为 $(-1,0)$, 终点为 $(1,0)$， 求

$\int_{L} x y d x+x^{2} d y$

因为曲线关于 $y$ 轴对称, 且 $x^{2}$ 是关于 $x$ 的偶函数, $x y$ 是关于 $y$ 轴的奇函数，
因此，

$\int_{L} x y d x+x^{2} d y=0$