放缩之路的探索(1)

什么是放缩？

放缩法是指要让不等式A<B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B。

形象来说，我们要证明，

$f(x)>g(x)$

而我们又知道，

$h(x)>g(x)$

那么只需要证明，

$f(x)>h(x)$

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放缩必备不等式

$e^x>x+1>x>x-1\geq\ln\left(x\right)\geq1-\frac1x (x>0)$

可能会用到的“泰勒公式”

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$

$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\dots+{({-1)}}^n\frac{x^n}{n!}$

$\sin\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+{(-1)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos\left(x\right)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{2!}+\dots+{(-1)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

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题目实践

证明：

$f(x)=(x+1)\ln\left(x\right)-x+1,(x-1)f(x)\geq0$

即，

$(x-1)\lbrack(x+1)\ln\left(x\right)-x+1)\rbrack\geq0\\\\$

而上文我们已经知道，

$\ln\left(x\right)>1-\frac1x(x>0)\\ x+1>x$

则我们可以将(x-1)f(x)放缩为，

$(x-1)\lbrack x(1-\frac1x)-x+1\rbrack\\$

而我们知道(x-1)f(x)是大于等于上式的，而上式结果为0，

那么就可以证明(x-1)f(x)≥0。

原题是两个问题，而原题的标准答案是依靠第一问的结论的，而依靠放缩我们并不需要讨论就可以将题目完美的解决出来了。