常数项级数

无穷级数性质

(1)若 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛, 则 lim⁡n→∞un=0\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0
若 lim⁡n→∞un=0\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0, 级数 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 不一定是收敛的

(2)级数 ∑n=1∞kun\sum_{n=1}^{\infty} k u_{n} 和级数 k∑n=1∞unk \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 具有相同敛散性

(3)

∑n=1∞un∑n=1xvn∑n=1∞(un±vn) 收敛  收敛  收敛  收敛  发散  发散  发散  发散  不确定 \begin{array}{|c|c|c|} \hline \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} & \sum_{n=1}^{x} v_{n} & \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n} \pm v_{n}\right) \\ \hline \text { 收敛 } & \text { 收敛 } & \text { 收敛 } \\ \hline \text { 收敛 } & \text { 发散 } & \text { 发散 } \\ \hline \text { 发散 } & \text { 发散 } & \text { 不确定 } \\ \hline \end{array}

例题时间

例题. 判断正项级数 ∑n=1∞2n2n2+n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}}{n^{2}+n}. 的敛散性.
解:

un=2n2n2+nlim⁡n→∞un=lim⁡n→∞2n2n2+n=2≠0u_{n}=\frac{2 n^{2}}{n^{2}+n} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}}{n^{2}+n}=2 \neq 0

故级数发散.

两个常用的参照级数

  1. 几何级数: ∑n=0∞aqn{∣q∣<1 级数收敛 ∣q∣≥1 级数发散 \sum_{n=0}^{\infty} a q^{n}\left\{\begin{array}{l}|q|<1 \text { 级数收敛 } \\ |q| \geq 1 \text { 级数发散 }\end{array}\right.

  2. 调和级数: ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 是发散

  3. 扩展: 对于级数 ∑n=1x1np{p>1 级数收敛 p≤1 级数发散 \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^{p}} \begin{cases}p>1 & \text { 级数收敛 } \\ p \leq 1 & \text { 级数发散 }\end{cases}
    ∑n=1∞1n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} 是收敛的

    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} 是发散的

审敛法

正项级数审敛法

比值审敛法:

lim⁡n→∞un+1un=ρ{ρ<1 收敛 ρ>1 发散 ρ=1 不确定 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho \begin{cases}\rho<1 & \text { 收敛 } \\ \rho>1 & \text { 发散 } \\ \rho=1 & \text { 不确定 }\end{cases}

例题时间

例题. 判断级数 ∑n=1∞2nn⋅3n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n \cdot 3^{n}} 的敛散性.
解:
un=2nn⋅3nu_{n}=\frac{2^{n}}{n \cdot 3^{n}}
lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞2n+1(n+1)⋅3n+12nn⋅3n=lim⁡n→∞2n+1(n+1)⋅3n+1⋅n⋅3n2n=lim⁡n→∞23⋅nn+1=23<1 \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}} &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1) \cdot 3^{n+1}}}{\frac{2^{n}}{n \cdot 3^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1) \cdot 3^{n+1}} \cdot \frac{n \cdot 3^{n}}{2^{n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{3} \cdot \frac{n}{n+1}=\frac{2}{3}<1 \end{aligned}
故级数收敛.

根值审敛法

lim⁡n→∞unn=ρ{ρ<1 收敛 ρ>1 发散 ρ=1 不确定 \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\rho\left\{\begin{array}{lc} \rho<1 & \text { 收敛 } \\ \rho>1 & \text { 发散 } \\ \rho=1 & \text { 不确定 } \end{array}\right.

例题时间

例题. 判断正项级数 ∑n=1x(n2n+1)\sum_{n=1}^{x}\left(\frac{n}{2 n+1}\right) 的敛散性
解:
un=(n2n+1)nu_{n}=\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}
lim⁡n→∞unn=lim⁡n→∞n2n+1=12<1\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2 n+1}=\frac{1}{2}<1
故级数收敛.

比较审敛法的极限形式

若

lim⁡n→∞unvn=l{0<l<+∞∑n=1∞un 和 ∑n=1∞vn 同敛散性 l=0∑n=1∞vn 收敛, 则 ∑n=1∞un 也收敛 l=+∞∑n=1∞vn 发散, 则 ∑n=1∞un 也发散 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=l \begin{cases}0<l<+\infty & \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \text { 和 } \sum_{n=1}^{\infty} v_{n} \text { 同敛散性 } \\ l=0 & \sum_{n=1}^{\infty} v_{n} \text { 收敛, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \text { 也收敛 } \\ l=+\infty & \sum_{n=1}^{\infty} v_{n} \text { 发散, 则 } \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} \text { 也发散 }\end{cases}

注：如果可以用等价无穷小替换，则他们有相同的敛散性.

例题时间

例题. 判断级数 ∑n=1xln⁡(1+1n)\sum_{n=1}^{x} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) 的敛散性.
解:
n→∞n \rightarrow \infty 时, ln⁡(1+1n)∼1n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}
故 ∑n=1∞ln⁡(1+1n)\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) 和 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 有相同的敛散性
∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 是调和级数, 发散
故 ∑n=1∞ln⁡(1+1n)\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) 也是发散的

交错级数

交错级数判定方法

{lim⁡n→∞un=0un+1≤un⟹ 收敛 \left\{\begin{array}{l} \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \\ u_{n+1} \leq u_{n} \end{array} \quad \Longrightarrow\right. \text { 收敛 }

例题时间

例题. 判断 ∑n=1x(−1)n−11n\sum_{n=1}^{x}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} 的敛散性.
解:
un=1nlim⁡n→∞1n=0u_{n}=\frac{1}{n} \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0
un+1=1n+1≤1n=unu_{n+1}=\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n}=u_{n}
故交错级数是收敛的.

绝对收敛和条件收敛

绝对收敛和条件收敛判定方法

  1. 若 ∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right| 收敛, 则 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 一定也收敛, 则称 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 绝对收敛
  2. 若 ∑n=1∞∣un∣\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right| 发散, 但 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛, 则称 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 条件收敛

例题时间

例题. 判断 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} 是绝对收敛还是条件收敛.
解: ∑n=1∞∣(−1)n−11n∣=∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 是调和级数 发散
而 ∑m=1n(−1)n−11n\sum_{m=1}^{n}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} 为交错级数, 满足 {lim⁡n→∞1n=0un+1=1n+1≤1n=un\left\{\begin{array}{l}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \\ u_{n+1}=\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n}=u_{n}\end{array}\right. 收敛
故级数为条件收敛.