幂级数

收敛域解题步骤

  1. un=anxnu_{n}=a_{n} x^{n}
  2. lim⁡n→∞∣un+1un∣<1\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|<1
  3. a<x<ba<x<b
    收敛半径: R=b−a2R=\frac{b-a}{2}
    收敛区间: x∈(a,b)x \in(a, b)
    收敛域: 验证端点 x=a,x=bx=a, x=b的敛散性

例题时间

例题. 求 ∑n=1∞(−1)n−1xnn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} 的收敛半径和收敛域.
解:
un=(−1)n−1xnnlim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞∣xn+1n+1⋅nxn∣=∣x∣<1u_{n}=(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n} \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{x^{n}}\right|=|x|<1 ⇒−1<x<1\Rightarrow-1<x<1 收敛半径: R=1R=1
收敛区间: x∈(−1,1)x \in(-1,1)
当 x=−1x=-1 时, 级数 ∑n=1∞(−1)2n−11n=−∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2 n-1} \frac{1}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散
当 x=1x=1 时, 级数 ∑n=1∞(−1)n−11n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n} 为交错级数
满足 lim⁡x→x1n=0\lim _{x \rightarrow x} \frac{1}{n}=0 且 1n+1<1n\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} 故收敛
则收敛域为 x∈(−1,1]x \in(-1,1]

例题. 求 ∑n=1∞(x−2)n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{2^{n}} 的收敛域.
解:
un=(x−2)n2nlim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞12∣x−2∣<1u_{n}=\frac{(x-2)^{n}}{2^{n}} \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2}|x-2|<1 ⇒0<x<4\Rightarrow 0<x<4
收敛半径: R=2R=2
收敛区间: x∈(0,4)x \in(0,4)
x=0x=0 时, 级数 ∑n=1∞(−1)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 发散
x=4x=4 时, 级数 ∑n=1∞1\sum_{n=1}^{\infty} 1 发散
则收敛域为 x∈(0,4)x \in(0,4)

例题. 求 ∑n=0∞2n−12nx2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n} 的收敛域.
解: un=2n−12nx2nlim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞12x2<1u_{n}=\frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n} \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} x^{2}<1 ⇒−2<x<2\Rightarrow-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}
收敛半径: R=2R=\sqrt{2}
收敛区间: x∈(−2,2)x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})
x=−2x=-\sqrt{2} 时, 级数 ∑n=0∞(2n−1)\sum_{n=0}^{\infty}(2 n-1) 发散
x=2x=\sqrt{2} 时, 级数 ∑n=0∞(2n−1)\sum_{n=0}^{\infty}(2 n-1) 发散
则收敛域为 x∈(−2,2)x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})

和函数

和函数性质

性质1: 可导并逐项可导

S′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞annxn−1S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} n x^{n-1}

性质2: 可积并逐项可积

∫0xS(x)dx=∑n=0∞∫0xanxndx=∑n=0∞an⋅1n+1xn+1\int_{0}^{x} S(x) d x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} x^{n} d x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot \frac{1}{n+1} x^{n+1}

注：下限一般是收敛中心(收敛区间中点处).

麦克劳林公式

11−x∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯⋯+xn(−1<x<1)11+x∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2+⋯⋯+(−1)nxn(−1<x<1)ln⁡(1+x)∑n=0∞(−1)nxn+1n+1=x−x22+x33+⋯⋯+(−1)nxn+1n+1(−1<x≤1)ex∑n=0∞1n!xn=1+x+x22!+⋯⋯+xnn!(−∞<x<+∞)sin⁡x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!⋯⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!(−∞<x<+∞)cos⁡x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1−x22+⋯⋯+(−1)nx2n(2n)!(−∞<x<+∞)\begin{array}{|c|l|l|} \hline \frac{1}{1-x} & \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots \cdots+x^{n} & (-1<x<1) \\ \hline \frac{1}{1+x} & \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots \cdots+(-1)^{n} x^{n} & (-1<x<1) \\ \hline \ln (1+x) & \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots \cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1} & (-1<x \leq 1) \\ \hline e^{x} & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots \cdots+\frac{x^{n}}{n !} & (-\infty<x<+\infty) \\ \hline \sin x & \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !} \cdots \cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} & (-\infty<x<+\infty) \\ \hline \cos x & \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}=1-\frac{x^{2}}{2}+\cdots \cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} & (-\infty<x<+\infty) \\ \hline \end{array}

计算步骤

  1. 先求收敛域
  2. 先积后导/先导后积
  3. 利用麦克劳林公式

例题时间

例题. 求级数 ∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} 的和函数.
解:
un=nxn−1lim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→x∣(n+1)xnnxn−1∣=∣x∣<1u_{n}=n x^{n-1} \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow x}\left|\frac{(n+1) x^{n}}{n x^{n-1}}\right|=|x|<1
⇒−1<x<1\Rightarrow-1<x<1
收敛区间: x∈(−1,1)x \in(-1,1)
x=−1x=-1 时, 级数 ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n 发散
x=1x=1 时, 级数 ∑n=1∞n\sum_{n=1}^{\infty} n 发散
则收敛域为 x∈(−1,1)x \in(-1,1)
今 S(x)=∑n=1∞nxn−111−x=1+x+x2+⋯⋅+xnS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} \quad \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots \cdot+x^{n}
先积: ∫0xS(x)dx=∑n=1∞∫0xnxn−1dx=∑n=1∞xn\int_{0}^{x} S(x) d x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} n x^{n-1} d x=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}
=x+x2+…+xn=11−x−1=x+x^{2}+\ldots+x^{n}=\frac{1}{1-x}-1
后导: S(x)=[∫0xS(x)dx]′=[11−x−1]′=1(1−x)2S(x)=\left[\int_{0}^{x} S(x) d x\right]^{\prime}=\left[\frac{1}{1-x}-1\right]^{\prime}=\frac{1}{(1-x)^{2}}

例题. 求 ∑n=1∞x2n+12n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n} 的和函数.
解:
un=x2n+12nlim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞∣x2n+32n+2⋅2nx2n+1∣=x2<1u_{n}=\frac{x^{2 n+1}}{2 n} \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{x^{2 n+3}}{2 n+2} \cdot \frac{2 n}{x^{2 n+1}}\right|=x^{2}<1
收敛区间: x∈(−1,1)x \in(-1,1)
x=−1x=-1 时, 级数 ∑n=1∞−12n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{2 n} 发散 x=1x=1 时, 级数 ∑n=1∞12n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n} 发散
则收敛域为 x∈(−1,1)x \in(-1,1)
11−x=1+x+x2+⋯+xn\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}
令 S(x)=∑n=1∞x2n+12n=x⋅∑n=1∞x2n2nS(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n}=x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}
再令 S1(x)=∑n=1∞x2n2nS_{1}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}
S1′(x)=∑n=1∞x2n−1=x∑n=1∞x2n−2=x∑n=1∞(x2)n−1S_{1}^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{2 n-1}=x \sum_{n=1}^{\infty} x^{2 n-2}=x \sum_{n=1}^{\infty}\left(x^{2}\right)^{n-1}
=x[1+x2+(x2)2+…+(x2)n]=x1−x2=x\left[1+x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(x^{2}\right)^{n}\right]=\frac{x}{1-x^{2}}
S1(x)=∫0xS1′(x)dx=∫0xx1−x2dx=−12ln⁡(1−x2)S_{1}(x)=\int_{0}^{x} S_{1}^{\prime}(x) d x=\int_{0}^{x} \frac{x}{1-x^{2}} d x=-\frac{1}{2} \ln \left(1-x^{2}\right)
S(x)=x⋅S1(x)=−x2ln⁡(1−x2)S(x)=x \cdot S_{1}(x)=-\frac{x}{2} \ln \left(1-x^{2}\right)

例题(较难). 求级数 ∑n=0∞n+12n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n}} 的和.
解:
先求 S(x)=∑n=0∞(n+1)xnS(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}
un=(n+1)xnlim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞∣(n+2)xn+1(n+1)xn∣=∣x∣<1⇒−1<x<1 \begin{aligned} &u_{n}=(n+1) x^{n} \\ &\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(n+2) x^{n+1}}{(n+1) x^{n}}\right|=|x|<1 \\ &\Rightarrow-1<x<1 \end{aligned}
x=−1x=-1 时, 级数 ∑n=1∞(−1)n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(n+1) 发散
x=1x=1 时, 级数 ∑n=1∞(n+1)\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) 发散
则收敛域为 x∈(−1,1)x \in(-1,1)
11−x=1+x+x2+⋯⋅+xn\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots \cdot+x^{n}
∫0xS(x)dx=∑n=0∞∫0x(n+1)xndx=∑n=0∞xn+1\int_{0}^{x} S(x) d x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x}(n+1) x^{n} d x=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1}
=x+x2+…+xn=11−x−1=x+x^{2}+\ldots+x^{n}=\frac{1}{1-x}-1
S(x)=(∫0xS(x)dx)′=(11−x−1)′=1(1−x)2S(x)=\left(\int_{0}^{x} S(x) d x\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{1-x}-1\right)^{\prime}=\frac{1}{(1-x)^{2}}
∑n=0∞n+12n=S(12)=1(1−12)2=4\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n}}=S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}=4

注：令 12=x\frac{1}{2}=x.

幂级数的展开

例题时间

例题. f(x)=1x2+3x+2f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2} 展开成 (x−1)(x-1) 的幂级数.

解:
f(x)=1x2+3x+2=1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2=12+(x−1)−13+(x−1)f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+(x-1)}-\frac{1}{3+(x-1)}\\
=12⋅11+(x−1)2−13⋅11+(x−1)3=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{(x-1)}{2}}-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{(x-1)}{3}} \\
=12∑n=0∞(−1)n(x−12)n−13∑n=0∞(−1)n(x−13)n=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x-1}{3}\right)^{n} \\
=∑n=0∞(−1)n12n+1(x−1)n−∑n=0∞(−1)n13n+1(x−1)n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2^{n+1}}(x-1)^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n+1}}(x-1)^{n} \\
=∑n=0∞(−1)n(12n+1−13n+1)(x−1)n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x-1)^{n}
x∈(−1,3)x \in(-1,3)

上题使用到的公式：11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+⋯(−1)nxn+⋯x∈(−1,1)\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x+\cdots(-1)^{n} x^{n}+\cdots \quad x \in(-1,1)

傅里叶级数

在x0x_0的收敛值

lim⁡x→x0−f(x)+lim⁡x→x0+f(x)2\frac{\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)+\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)}{2}

例题时间

例题. 设有周期为 2π2 \pi 的函数，它在 (−π,π](-\pi, \pi] 上的表达式为 f(x)={−1,−π<x≤01+x20<x≤πf(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi<x \leq 0 \\ 1+x^{2} & 0<x \leq \pi\end{array}\right. ， 其傅里叶级数在点 x=πx=\pi 收敛到___
解:
lim⁡x→π−f(x)=lim⁡x→π−(1+x2)=1+π2\lim _{x \rightarrow \pi^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \pi^{-}}\left(1+x^{2}\right)=1+\pi^{2}
lim⁡x→π+f(x)=lim⁡x→−π+(−1)=−1\lim _{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\pi^{+}}(-1)=-1
lim⁡x→π−f(x)+lim⁡x→π+f(x)2=1+π2−12=π22\frac{\lim _{x \rightarrow \pi^{-}} f(x)+\lim _{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)}{2}=\frac{1+\pi^{2}-1}{2}=\frac{\pi^{2}}{2}
则傅里叶级数在点 x=πx=\pi 收敛到 π22\frac{\pi^{2}}{2}.