如何证明∑1/n²=π²/6？

有必要说的前言

前段时间对无限求和很感兴趣，就意外地发现了这个，也因此结识了欧拉，欧拉的证明十分巧妙且易学。但网络上有很多类似的又或者是太过复杂的证明，无非就是一个太简略不知所以然，一个是太难犹如天书。我特此来将类似于欧拉的求法给细化一下分享一下。

我们的“老大哥”

  • 泰勒公式

    sin⁡(x)=x−x33!+x55!+⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+{(-1)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

  • 韦达定理的推广

    当一元N次方程的常数项为1时，根的倒数和为一次项系数的相反数。

开始证明

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!⋯=0\sin\left(x\right)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\cdots=0

令sinx=0，x=π，2π，3π，4π……

我们现在已经使用泰勒公式了，但是怎么用韦达定理的推广呢，也就是如何构造常数项1呢？

sin⁡(x)x=1−x23!+x45!−x67!⋯=0\frac{\sin\left(x\right)}x=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}\cdots=0

哦不错，我们现在已经有常数项1了，可是我们没有一次项啊！

别急，我们可以令y=x²！

那么y=π²,(2π)²,(3π)²,(4π)²……

sin⁡(x)x=1−y3!+y25!−y37!⋯=0\frac{\sin\left(x\right)}x=1-\frac y{3!}+\frac{y^2}{5!}-\frac{y^3}{7!}\cdots=0

Congratulations！我们现在已经满足使用韦达定理的推广的全部条件了！

13!=1π2+1(2π)2+1(3π)2+⋯\frac1{3!}=\frac1{\pi^2}+\frac1{\left(2\pi\right)^2}+\frac1{\left(3\pi\right)^2}+\cdots\\

同时乘以π²。

π26=112+122+132+⋯\frac{\pi^2}6=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots\\

证毕。