泰勒公式在极值点偏移问题的应用(1)—和篇

已知函数y=f(x)是连续的函数，f(x)在区间(x1,x2)内只有一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)，由于函数在极值点左右两边的增减速度不同，函数的图像会呈现不对称性，即极值点x0≠(x1+x2)/2。

我们已知f(x)如下，并且已经知道有两个零点，且x1<x2。

如何证明两个零点和小于0呢？

f(x)=e^x-x+b\;\left(b<-1\right)

首先分析一下，为什么要让我们证明他小于0。

我们对f(x)，进行求导，不难发现，x=0是导数的驻点，同时也是原函数的极值点。

所以这道题目的本质就是一道极值点偏移问题，

求证x1+x2<2x0，而正好极值点x0=0，所以这道问题的本质就这样被我们发现了。

方法很多，常规方法太繁琐，我们首先讲一个容易理解，且容易说明的方法。

我们要证明x1+x2<0，即转换为求证x1<-x2，我们不难发现，x1和-x2都应该在y轴的左边，而左边则是函数递减区间。

那我们可以转换证明f(x1)>f(-x2)

我们又知道f(x1)=f(x2)，因为他们都是函数的零点。

所以再次转换为f(x2)-f(-x2)>0，这时候我们的方向已经很清晰了。

构建函数g(x)=f(x)-f(-x)可得，

g(x)=e^x-e^{-x}-2x\\

求导微分可得，

g'(x)=e^x+e^{-x}-2\\\\

根据均值不等式可以很快算出g’(x)≥0得g(x)在(0,+∞)上递增。

最小值就是g(x)min=g(0)=0，可得f(x2)>f(-x2)，此时我们已经证明结束了。

这个方法类似于构造准对称来证明，那么有没有方法可以让我们直接换一个对称的函数呢。

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}

这是我们这题使用的泰勒公式，别看它已经扩展到N级数，但是我们只需要下面这个。

T(x)=1+x+\frac{x^2}2\\\\

我们可以神不知鬼不觉的，不需要告诉阅卷老师，我们已经使用了泰勒公式，千万别在答题纸上展开！

(此题中我是直接将e^x换成其泰勒公式，你也可以直接把整个原函数泰勒。)

答题纸上，我们可以直接说构建如下函数，

g(x)=1+b+\frac{x^2}2\\\\

因为 b < -1，所以方程有实数根，

此函数与原函数有相同的性质，即左减右增，还都有两个零点，最重要的是这个函数他的零点对称，即x3+x4=0！

(聪明的小伙伴已经发现，g(x)的到来，其实就是拿T(x)和e^x，偷偷换了一下，但是注意，这不叫放缩！）

我们画个小图来看看两个函数的区别，暂时用b=-2代替。

红色为新函数，黑色为原函数

我们不难发现，新函数的两个零点都比原函数要大！

而我们新函数的零点x3+x4=0，

我两个大的都姑且只能等于0，那你比我小的x1，x2，它们的和那必定小于0啊！(啊这，这里怎么还有放缩的思想啊。)

证毕！

用泰勒公式来构造真正的对称函数，只是我们要在答题纸上画图并以求导求证说明

x>0，f(x)>g(x)

x<0，f(x)<g(x)

当然，如果你是个绝对大佬并且你们那里允许，易证二字，那就直接写易证上面的内容啦。